Le frazioni Egiziane

Gli antichi Egiziani avevano un chiodo fisso: utilizzavano soltanto frazioni unitarie, cioè del tipo 1/n.
Perciò ogni frazione propria del tipo m/n doveva essere convertita in una somma di frazioni unitarie.
Facile, dov'è il problema!? Direte.
3/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4
Purtroppo non è così. I denominatori delle frazioni unitarie dovevano essere tutti diversi!
Ad esempio:
3/4 = 1/2 + 1/4
5/7 = 1/2+1/7+1/14
Una frazione scritta sotto forma di somma di unità frazionarie distinte si chiama frazione egiziana.
Perché utilizzare le frazioni egiziane?
La domanda sorge spontanea: perché gli Egiziani avevano questa fissazione?
Una volta Ronald Graham pose questa domanda a André Weil il quale rispose: "Presero una strada sbagliata!"
In realtà, per certi scopi, il sistema Egiziano funziona molto meglio del metodo intuitivo che utilizzeremmo oggi.
 

Dividere 5 mele fra 8 ragazzi
Ad esempio, se volete dividere 5 mele in parti uguali fra 8 ragazzi, dividereste forse tutte le mele in 8 parti e ne dareste 5 ad ogni ragazzo?
Dovreste fare 7*5=35 tagli.
Visto che: 5/8 = 1/2+1/8, è più pratico dividere 4 mele a metà e una in 8 parti e consegnare mezza mela e un ottavo di mela ad ogni ragazzo.
In tutto abbiamo fatto 11 tagli.

Dividere 5 mele fra 7 ragazzi
Se invece vogliamo dividere 5 mele fra 7 ragazzi, le cose si complicano un po'.
5/7 = 1/2+1/7+1/14

Come si vede, la 4° mela è divisa a metà e la seconda metà è divisa in 7 parti, pari ciascuna ad 1/14, mentre l'ultima mela è divisa in 7 parti.
In tutto abbiamo fatto 16 tagli.

La scomposizione in frazioni egiziane non è unica e si può dimostrare che:
ogni frazione propria può essere scritta come somma di frazioni unitarie aventi i denominatori tutti diversi;
esistono infinite scomposizioni di questo tipo per ogni frazione data.
La scomposizione di una frazione in una somma di frazioni unitarie non è unica, perciò c'è da chiedersi qual è quella migliore. Forse quella di lunghezza minima? Forse quella con i denominatori più piccoli?
Qui sotto c'è un piccolo calcolatore in javascript che permette di trovare tutte le scomposizioni di lunghezza minima.
1. Scrivete il numeratore e il denominatore
2. N.B. La frazione deve essere minore di 1
3. Cliccate su "Calcola"
4. Nel riquadro dei "Risultati" otterrete tutte le scomposizioni di lunghezza minima della frazione digitata
(N.B. Per programmare questo calcolatore ho utilizzato un lavoro di Don Knott)

Utilizzate il calcolatore per trovare una soluzione efficiente dei seguenti problemi.
Per efficiente intendo col numero minore possibile di suddivisioni.

1- Dividere 4 sacchi di farina in parti uguali fra 17 persone

2- Dividere 521 sacchi di farina in parti uguali fra 1050 persone

3- Scomponete 5/7 e 6/13 in una somma di frazioni egiziane

4- un caso piuttosto difficile è 3/179, risolvetelo

Bene con il calcolatore è tutto molto più semplice...non vi pare.